Gamalt reikningsdæmi

úr "Math. Tidskr" orðrétt nema nöfnin "íslenskuð".

Fimm konur fóru út í búð til að kaupa tóvöru. Hafði hver þeirra dóttur sína með sér. Hver um sig af þessum tíu keypti jafnmargar álnir og hún gaf aura fyrir alin. Hver frú eyddi 4 krónum og 5 aurum meira en dóttir hennar. Frú Melan eyddi 2 krónum 88 aurum meira en frú Sandan en frú Sandan hér um bil fjórðungi þess sem frú Móan eyddi. En mestu eyddi frú Barðan. Frú Riman keypti 63 álnum meira en Lína, ein af stúlkunum. En um hinar stúlkurnar er það að segja að Mína keypti 48 álnum meira en Bína og eyddi 29 krónum og 12 aurum meira en Trína. Fimmta stúlkan hét Gína. Hvert var ættarnafn hennar?

(Ath. Gera verður ráð fyrir að auratalan alls staðar í dæminu sé heil tala.)

Þetta gamla reikningsdæmi er handskrifað og liggur hjá eftirfarandi uppkasti að svarbréfi í gögnum úr fórum Gísla Ólafs Péturssonar, héraðslæknis á Húsavík og síðar á Eyrarbakka 1914-1937.

Til Sr. Kj. Helgasonar

Eb. 5. apr. 1918

Kæri vinur.

Þakka þér fyrir bréfspjaldið þitt og dæmið og komuna síðast. Ég er nú búinn að ráða það. Það er ekki erfitt en það er varla hægt að kalla það reikningsdæmi. Það er gáta en hægari að ráða en margar venjulegar gátur af því að hún setur huganum skarpari - mathematisk - takmörk. Takmörkin sem binda hugann innan hæfilega stórs svæðis meðan hann leitar að ráðningu eru:

að hver um sig af konunum keypti jafnmargar álnir og hún gaf aura fyrir alin
og að hver frú eyddi 405 aurum meir en dóttir hennar.
Í sambandi við athugasemdina: Gera verður ráð fyrir að auratalan alls staðar í dæminu sé heil tala.
Enn fremur sést undir eins og litið er á gátuna að ættarnafn Gínu finnst ekki fyrr en búið er að finna ættarnöfn allra hinna ungfrúnna af því að engin tala segir til um eyðslu hennar.

Og nú skal ég segja þér hvernig ég fór að. Til þess að fá glöggt yfirlit yfir gátuna skrifaði ég upp nöfn kvennanna og það sem gátan segir þær hafa eytt - þannig:

	Eyddi í aurum:		Eyddi í aurum:
Frú Sandan	x	Ungfrú Sandan	x - 405
Frú Melan	x + 288	Ungfrú Melan	x + 288 - 405
Frú Móan	"hérumbil" 4x	Ungfrú Móan	4x - 405
Frú Riman	63 álnum meir en Lína
Frú Barðan	eyddi "mestu"
		Mína	48 álnum meira en Bína
		Mína	2912 aurum meira en Trína

Það er auðsætt að x hlýtur að vera kvaðrat-tala ef að álnatalan á að verða rational og verður að hafa þann eiginleika að x+288, x-405 og x+288-405 verði kvaðrat-tölur. Ég sá ekki annað ráð til að finna x heldur en að þreifa fyrir mér, leita að kvaðrattölu ofan við 405 sem hefði þessa eiginleika og aðra þá sem gátan heimtaði og þurfti ekki að leita lengi. 441 er fysta kvaðrat-talan ofan við 405 og húnhefur þessa eiginleika.

441 * 4 - 405 er ekki kvaðrat-tala enda segir í gátunni að frú Sandan hafi eytt "hérumbil" fjórðungi þess sem frú Móan eyddi. Næsta kvaðrat-tala við 441*4 sem gefur kvaðrat-tölu ef frá eru dregnir 405 er talan 1849. Ef ég set þessa tölu í stað "hérumbil" 4x í töflunni yfir eyðslu kvennanna og 441 í stað x og reikna út, þá verður útkoman að:

	greiddi	álnir		greiddi	álnir
Frú Sandan	441	21	Ungfrú Sandan	36	6
Frú Melan	729	27	Ungfrú Melan	324	18
Frú Móan	1849	43	Ungfrú Móan	1444	38
Frú Riman Keypti 63 álnum meira en Lína sem ekki hefur keypt minna en ungfrú Sandan		>=69	Ungfrú Riman >>>> 4356 Ef frú Riman keypti 69 álnir þá keypti ungfrú Riman kvaðratrótina af (6969-405) = 66 álnir fyrir 6969-405 = 4356 aura		66
Frú Barðan	eyddi "mestu"		Mína keypti 48 álnum meira en Bína sem merkir að Mína gæti verið ungfrú Riman og Bína ungfrú Melan
Frú Barðan	eyddi "mestu"		Mína eyddi 2912 aurum meira en Trína sem er í samræmi við það að Mína er ungfrú Riman og þá er Trína ungfrú Móan

Þar sem ekki er að villast um frú Barðan sem eyddi "mestu" þá sýnist rétt að

Lína er dóttir frú Sandan
Bína er dóttir frú Melan
Trína er dóttir frú Móan
Mína er dóttir frú Riman

Ættarnafn Gínu er því Barðan.

Þú segist vita að dæmið hafi verið reiknað á tvo vegu. Mér dettur ekki í hug í svip önnur aðferð en þessi. Ég læt ósagt hvort fleiri tölur eru til en talan 441 sem hafa alla þá eiginleika er gátan heimtar en þó svo verði þá gæti það ekki breytt ráðningu gátunnar. Talan 441 er áreiðanlega sú lægsta og þá hægust viðfangs.

[Kveðjur og góðar óskir] Þinn einlægur vinur, Gísli Pétursson.

efst á þessa síðu